Você pode facilmente se conectar a um servidor de emails imap para copiar todo o conteúdo da caixa postal de email alvo (mensagens, distribuição de pastas, etc)

Para isso, você deve ter acesso ao shell no servidor de destino e o acesso a conta imap no servidor alvo para fazer a copia online dos dados server-to-server.

Abaixo um exemplo do comando que deverá ser rodado no SSH para fazer a copia de um e-mail que está no servidor da locaweb:

imapsync \
--host1 imap.email-ssl.com.br --user1 USER@DOMINIO.com.br --password1 'SENHA AQUI' \
--host2 localhost --user2 USER@DOMINIO.com.br --password2 'SENHA AQUI' --idatefromheader

Lembre-se de que antes de rodar o comando você deverá ter o dominio configurado no novo servidor (não precisa estar apontado o DNS ainda já que o comando rodará em localhost) e a caixa postal já deverá estar criada com a senha de acesso informada no comando.